为什么数学书上的句号都是点呢?从高中开始我就有这个问题,这次为了考研又重新看了高数后明白了这个问题:假设一个变量为x。

看着大一的自己做过的题目,觉得当初自己好笨,那么多都不会……现在除了一些难点的和一些证明题以外,别的题目似乎没有当初那么难了。

数列极限

$\varepsilon - N$

\begin{equation} \lim_{n \to \infty} x_n = A \label{1} \end{equation}

\begin{equation} |x_n-A|<\varepsilon \label{2} \end{equation}

证明数列极限的方法就是找到那个 N ,因为数列极限几乎只考虑 n 趋近于无穷大,所以只要找到 N,使得 N > n 的时候满足公式\eqref{2}就行了。另外在很多证明题里要会用 $\varepsilon$ 来赋一个特定的值完成证明。

除此之外还要记住书上两个很重要的极限公式。

数列极限存在的判别定理

夹逼准则

单调有界原理

需要依次证明单调性和有界性。其中很可能用到数学归纳法。最简单和常见的数学归纳法是证明当*n*等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:

数学归纳法

  1. 证明当 n = 1 时命题成立。

  2. 证明如果在 n = m 时命题成立,那么可以推导出在 n = m + 1 时命题也成立。( m 代表任意自然数)

这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。

Cauchy 收敛准则

$$ |x_m-x_n|<\varepsilon $$

其中 m 可以取 n 的倍数。

函数极限

\begin{equation} \lim_{x \to \infty} f(x) = A \label{3} \end{equation}

\begin{equation} |f(x)-A|<\varepsilon \label{4} \end{equation}

函数极限的充要条件是左右极限(单侧极限)和函数极限相等。

函数极限有两种情况:

$\varepsilon - X$

自变量趋于无穷大。所以 X 可以和数列极限的 N 一样取。

$\varepsilon - \delta$

自变量趋于有限值。这个时候只要求$\delta$就行。

函数极限存在的条件

证明极限存在后,可以直接用定值换取表达式中的变量求极限。

Heine定理(归结原理)

函数的极限用套于函数的数列来表示,数列满足极限(值)则函数满足极限(值)。这里具体有两个说明函数极限不存在的方法:

  • 找到一个数列直接证明数列的函数的极限不存在。

  • 找到两个都以一个固定值(不是无穷!)为极限的数列,使两个数列的函数的极限不相等。

以上的方法大多是用来处理三角函数的,以下还需要知道几个函数极限的不存在,它们也关于三角函数:

$$\lim{x \to 0} sin \frac{1}{x} \; \lim{x \to \infty}sinx \; \lim{x \to \infty} cosx \; \lim{x \to 0}cos\frac{1}{x}$$

夹逼准则

同样适用于函数极限。不过这里书上给出了两个极限的经典案例,其中一个是用单位圆面积法求来的;另一个和数列极限相似。

无穷大/小

无穷大并不是一个很大的数,而是一个不确定的量,因此如果说极限趋于无穷,那么可以说极限是不存在的。

无穷小多了一些比较,主要影响两个无穷小量的

  • 高阶无穷小

  • 同阶无穷小

  • 等价无穷小

  • k阶无穷小

从这里开始接触到一些无穷小的代换,尤其是等价无穷小。

连续性和间断点

(某点的)连续性

连续 = 领域有定义+极限存在+(极限值 = 函数值)

或,

连续 = 领域有定义+极限存在+(左极限 = 右极限)

函数连续的充要条件也是左右同时连续。通俗点说,连续在极限的前提下就增加了一个极限值 = 函数值。

间断点

  • 第一类间断点。左右极限均存在。

    • 可去间断点。左右极限相等。

    • 跳跃间断点。左右极限不等。

  • 第二类间断点。左右极限至少有一个不存在。

    • 无穷间断点。极限为无穷说明极限不存在。

    • 震荡间断点。多出现于三角函数中的无穷。

注意:做题的时候先判断在哪些地方有间断再进一步判定间断点。考虑间断点时,分式上下不能消掉。

闭区间上连续函数的性质

零点定理

介值定理

介值定理的应用很灵活,如果没有给端点值(最大最小值),需要自己去设置。

其他

掌握函数的积化和差、和差化积公式。https://www.zhihu.com/question/20829733