导数

定义

\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} \]

要会换着用这两个公式,而且会他们的左右导数。书中有示例,还需注意在某点(\(x = x_0\))求导时,分子必须为该点的函数,而不是其他虽然可以直接进行分母的减法的函数。

可导性和连续性

函数连续不一定可导;函数可导必然连续。经典反例:

\[ f(x) = \begin{cases} x,& x \geq 0, \\ -x,& x<0. \end{cases} \]

这个问题中如果出现绝对值,就要判定可导性是否存在,经典案例:函数\(f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|\)的不可导点数为2,分别在自变量为0和1两点处。

不能求导

要注意求导和极限的区别,不要冒昧求导,求导意味着必然连续;同时也需要注意,可能一个分段函数是连续的,但是在某点(直接)求导是默认那一点是有意义的,一个例子:

\[ F(x) = \begin{cases} \frac{f(x)+asin(x)}{x},& x \neq 0, \\ A, & x = 0.\end{cases} \]

求导法则

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

掌握基本的求导公式和求导法则。注意,求导中的\(ln(balabala)\)要先看看能不能转换,提出来或者是别的操作。另外取对数求导法也比较实用。

高阶导数

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) \]

注意求导时右上角加括号的上标\({(a^x)}^{(n)}\)表示求导!

微分

\[ dy = f'(x)dx \]

\[ f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x+0)\Delta x \]

备注

三个后缀的区别:

  • .md可以使用简单的行内、独立公式,且有TOC。
  • .pdc可以使用复杂的行内、独立公式,没有TOC。
  • .mmark可以使用复杂的独立公式,不能使用任何行内公式,没有TOC。