时间隔得有点久,再拖下去之前做的东西估计都忘没了,不过这章要记的东西很多,赶快记下来~

这里以及高数系列中的某点特指$x_0$.

微分中值定理

Fermat定理

函数在某点取得极值,那么函数在该点上的导数存在且必等于零,该点可称为函数的驻点。

Rolle中值定理

函数闭连开导端等,区间内存在一个点使得函数在该点的导数为零。

Lagrange中值定理

函数闭连开导,区间内存在一个点使得: $$ f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ 这个定理的证明非常妙,借助构造函数和 Rolle 中值定理完成,在书上 124 页。

Cauchy中值定理

两个函数在同区间内均闭连开导,区间内存在一个点使得: $$ \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f’(\xi)}{F’(\xi)} $$

题型

题型主要以考验构造函数的能力。这个确实是需要找手感的,有些题目只要构造得当一次就OK了,但是有些需要多次运用到别的定理,比如两次运用罗尔中值定理。

泰勒公式

Taylor中值定理

若函数在含有某点的某个开区间内具有直到$(n+1)$阶的导数,则对属于区间内的任意一点: $$ f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) $$ 以上是指泰勒公式,其中误差估计式(拉格朗日型余项): $$ R_n{x}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)} $$ 注意,这里的$\xi$是$x_0$和$x$之间的某个值

泰勒多项式 = 泰勒公式 - 拉格朗日型余项。

Peano余项

$o(x^n)$

Maclaurin公式

$$ f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)} $$

$$ (0<\theta <1) $$

五个常用的函数的麦克劳林展开式也是要记的。

题型

  • $n$阶泰勒多项式/泰勒公式:写到$f^{(n)}(x)$项就行了。

  • $n$阶麦克劳林公式:写到$x^n$项就行了。

  • 展开到含$x^n$的项:写到$x^n$项就行了。

  • $n$阶无穷小:写到$n$-1阶就行了。

根本上说还是自己对概念的理解不够!

$L’Hospital$法则

这个法则我高中的时候就在用了,原因是长征哥的培训。

其他类型的未定式都可以通过转化为$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$来解决。

别忘了每次使用的时候判断下!

函数的单调性和极值

单调性

导数判断。

极值

函数极值的第一充分条件

步骤:

  1. 确定函数定义域,求导函数;
  2. 求导函数所有驻点以及使得导函数不存在的点;
  3. 利用第一充分条件考察各点两侧导函数的符号。

函数极值的第二充分条件

函数一阶导数为零二阶导数不为零。(根据凸性去理解)

定理4.4

若函数在某点$x_0$处存在$n$阶导数,且: $$ f’(x_0)=f^{(2)}(x_0)=…=f^{(n-1)}(x_0)=0 $$

$$ f^{(n)}(x_0)\neq0 $$

  1. $n$是奇数时,$x_0$不是函数的极值点;
  2. $n$是偶数时,$x_0$是函数的极值点,此时若$f^{(n)}(x_0)>0$,则$x_0$是极小值点;反之……

最值

分为断点和内部了两种情况讨论。

曲线的凸性

凸分析

上凸函数: $$ f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} $$ 下凸函数: $$ f(\frac{x_1+x_2}{2})\geq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} $$ 两侧凸性相反的点为拐点。

渐近线

曲线有渐近线的充要条件: $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=k $$

$$ \lim_{x\to +\infty}(f(x)-kx)=b $$

函数作图

九个方面:定义域、值域、单调性、凸性、奇偶性、周期性、极值、拐点、渐近线。

平面曲线的曲率

弧微分

$$ ds =\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} $$

曲线的曲率

$$ k =\lim_{\Delta \alpha}|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|=|\frac{d \alpha}{ds}| $$