二阶行列式

\[ \left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2= b_2 \end{array} \right. \] 根据克莱姆法则(Cramer’s rule): \[ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \neq 0, D_1 = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \\ \end{vmatrix}, D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \\ \end{vmatrix} \]

\[ x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D} \]

三阶行列式

展开式为:主对角线-副对角线。

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{12}a_{13} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \]

全排列和对换

逆序数为奇数的排列叫做奇排列;逆序数为偶数的排列叫做偶排列。例如\(32514\)的逆序数$ = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5$。

排列中将任意两个元素对调其余元素不动称之为对换

  • 定理1:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。

  • 推论:奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

n阶行列式的定义

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = \sum(-1)^t a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3} \]

其中\(p_1, p_2, p_3\)为列标的排列,\(t\)为排列的逆序数。

上下三角行列式对角行列式的值为行列式主对角线上的值的乘积。

行列式的性质

  1. 行列式与它的转置行列式(关于主对角线对称)相等,即\(D = D^T\)

  2. 对换行列式的两行(列),行列式变号。

    • 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。
  3. 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数\(k\),等于用数\(k\)乘此行列式。

    • 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
  4. 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。

  5. 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则可以将该行列式拆分为两个行列式。

  6. 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。

方法

  1. 换行:

\[ \frac{n(n-1)}{2} \]

  1. 矩阵分块法。

行列式按行(列)展开

余子式(complementary Minor)\(M_{ij}\)代数余子式(Algebraic complement)\(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\)

  • 一个\(n\)阶行列式,如果其中第\(i\)行所有元素除\(a_{ij}\)都为零,那么这行列式等于\(a_{ij}\)与它的代数余子式的乘积,即:

\[ \begin{align} D & = a_{ij}A_{ij} \\ & = a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} M_{ij} \end{align} \]

  • 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,上例为特例,即:

\[ D = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2} + ... + a_{jn}A_{jn} \]

  • 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

综上: \[ \sum_{k=1}^n a_{ki}A_{kj} = \begin{cases} D, \quad when \; i = j \\ 0, \quad \; when \; i\neq j \end{cases} \] 或: \[ \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} D, \quad when \; i = j \\ 0, \quad \; when \; i\neq j \end{cases} \]