方阵($n$阶矩阵)与行列式是两个不同的概念,方阵是$n^2$个数按一定方式排列而成的数表,而行列式是这些数按一定的运算规则所确定的一个数

矩阵不一定都是方阵,但是行列式的行列一定相等。

矩阵的运算一定要按照从左至右的顺序,不能颠倒顺序,但是可以暂时不考虑前面的矩阵而先对后面的矩阵进行从左到右的计算,即矩阵的乘法不满足交换律(符号左右交换)。一般来讲$(AB)^k \neq A^kB^k$,只有当$A$、$B$可交换时才有$(AB)^k = A^kB^k$。

转置

$$ (AB)^T = B^TA^T ; \quad (A+B)^T = A^T + B^T ; \quad (\lambda A)^T = \lambda A^T $$

方阵的行列式

$$ |A^T| = |A|; \quad |\lambda A| = \lambda^n |A|; \quad |AB| = |A||B| $$

$$ AA^* = A^*A = |A|E $$

逆矩阵

$$ AB = BA = E $$

1.若矩阵$A$可逆,则$|A| \neq 0$。

2.若$|A| \neq 0$,则矩阵$A$可逆,且: $$ A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} $$

$$ (A^{-1})^{-1} = A; \quad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T; \quad (\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda}A^{-1}; \quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $$