事件的关系与运算

  • 事件的包含与相等;
  • 事件的并;
  • 事件的交;
  • 事件的差;
  • 逆事件或对立事件。

概率的基本性质

1.可减性。若$A \subset B$:

$$ P(B-A) = P(B) - P(A) $$

2.单调性。若$A \subset B$:

$$ P(A) \leq P(B) $$

3.逆事件概率公式:

$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$

4.加法公式: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $$

古典概型和几何概型

古典概型

计算所有可能出现的结果的集合中元素出现的次数。对象常有:

  1. (球的)排列;
  2. (球的)个数;
  3. 操作的次数等。

几何概型

把图画出来。

条件概率

1.条件概率 $$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $$ 2.乘法公式 $$ P(AB) = P(B)P(A|B) $$ 3.全概率公式,在事件$A$发生的基础上对另一系列完备事件组($B_1,…Bn,…$)的考虑 $$ P(A) = \sum{i = 1}^n P(B_i)P(A|B_i) $$

该公式为条件概率公式的变形,经常考虑基于事件$A$的某事件$B$以及该事件的对立事件: $$ P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}) $$ 4.贝叶斯公式(逆概率公式) $$ P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|Bi)}{\sum{j = 1}^n P(B_j)P(A|B_j) \; (which=P(A))} $$ 其中$P(B_i)$为先验概率,$P(B_i|A)$为后验概率。

同理: $$ P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B})} $$

事件的独立性

$$ P(ABC) = P(A)P(B)P© $$

$n$重伯努利试验(独立重复试验): $$ P(B_k) = C_n^k p^k q^{n-k} $$